Question

（2012•廣元三模）在數(shù)列{a_n}中，a₁=l，a₂=2，且an+2-an=1+(-1

)

n

(n∈

N

+

)，則其前100項(xiàng)之和S₁₀₀=

2600

．

Answer 1

分析：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，由a_n+2-a_n=0，a₁=l，可求得a₁=a₃=a₅=…=a₉₉=1；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由a_n+2-a_n=2，a₂=2，可知{a_2n}是以首相為2，公差為2的等差數(shù)列，從而可求答案．

解答：解：有題意可知，
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n+2-a_n=0，而a₁=l，
∴得a₁=a₃=a₅=…=a₉₉=1；
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n+2-a_n=2，又a₂=2，
∴{a_2n}是以首相為2，公差為2的等差數(shù)列，
∴a_2n=2+（n-1）×2=2n，
∴a₁₀₀=100．
∴其前100項(xiàng)之和S₁₀₀=（a₁+a₃+a₅+…+a₉₉）+（a₂+a₄+a₆+…+a₁₀₀）
=50+

(a2+a100)×50

2

=50+

(2 +100 )×50

2

=50+2550
=2600．
故答案為：2600．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的求和，對n分奇數(shù)與偶數(shù)進(jìn)行分類討論是求和的關(guān)鍵，突出轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．