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          如圖，已知是長(zhǎng)軸為的橢圓上三點(diǎn)，點(diǎn)是長(zhǎng)軸的一個(gè)頂點(diǎn)，過(guò)橢圓中心，且.
          


          


          (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓方程；
          


          (2)如果橢圓上兩點(diǎn)使直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，是否總存在實(shí)數(shù)使?請(qǐng)給出證明．
          


           
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				【答案】






          (1)(2) 存在實(shí)數(shù)使證明：設(shè)直線的方程為，所以直線的方程為由橢圓方程與直線的方程聯(lián)立，消去得
          


          ，所以同理
          


          又，所以，所以，即存在實(shí)數(shù)使成立
          


          【解析】
          


          試題分析：(1)以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，橢圓方程可設(shè)為
          


          


          而為橢圓中心，由對(duì)稱性知
          


          又，所以
          


          又，所以
          


          所以為等腰直角三角形，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為
          


          將 代入橢圓方程得   則橢圓方程為
          


          (2)由直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，設(shè)直線的斜率為，
          


          則直線的斜率為，直線的方程為，
          


          直線的方程為
          


          由橢圓方程與直線的方程聯(lián)立，消去得
          


               ①
          


          因?yàn)?img
src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013082813183791521725/SYS201308281319385129464312_DA.files/image035.png">在橢圓上，所以是方程①的一個(gè)根，于是
          


            同理
          


          這樣，
          


          又，所以
          


          即.所以，即存在實(shí)數(shù)使.
          


          考點(diǎn)：求橢圓方程及直線與橢圓相交韋達(dá)定理的應(yīng)用
          


          點(diǎn)評(píng)：本題對(duì)于高二文科學(xué)生有一定的難度，可區(qū)分出優(yōu)秀學(xué)生與一般學(xué)生
          


           
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊(cè)系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			
          

						
          （A）（幾何證明選講選做題）如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長(zhǎng)分別為3cm，4cm，以AC為直徑作圓與斜邊AB交于點(diǎn)D，則BD的長(zhǎng)為=
          16
          5
          16
          5
          ；
          （B）（不等式選講選做題）關(guān)于x的不等式|x-1|+|x-2|≤a2+a+1的解集為空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
          （-1，0）
          （-1，0）
          ；
          （C）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知極坐標(biāo)的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O處，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C的參數(shù)方程為
          x=3cosθ
          y=sinθ
          （θ為參數(shù)），直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ-
          π
          3
          )=6          ．點(diǎn)P在曲線C上，則點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為
          6-
          		3
          6-
          		3
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			
          

						
          如圖，已知圓與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為. 由點(diǎn)出發(fā)的射線的斜率為. 射線與圓相交于另一點(diǎn)
            
          （1）當(dāng)時(shí)，試用表示點(diǎn)的坐標(biāo)；
            
          （2）當(dāng)時(shí)，求證：“射線的斜率為有理數(shù)”是“點(diǎn)為單位圓上的有理點(diǎn)”的充要條件；（說(shuō)明：坐標(biāo)平面上，橫、縱坐標(biāo)都為有理數(shù)的點(diǎn)為有理點(diǎn).我們知道，一個(gè)有理數(shù)可以表示為，其中、均為整數(shù)且、互質(zhì)）
            
          （3）定義：實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距都是正整數(shù)的雙曲線為“整勾股雙曲線”. 
            
          當(dāng)為有理數(shù)且時(shí)，試證明：一定能構(gòu)造偶數(shù)個(gè)“整勾股雙曲線”(規(guī)定：實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)都對(duì)應(yīng)相等的雙曲線為同一個(gè)雙曲線)，它的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距的長(zhǎng)恰可由點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和半徑的數(shù)值構(gòu)成. 說(shuō)明你的理由并請(qǐng)嘗試給出構(gòu)造方法. 
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			
          

						
          已知是長(zhǎng)軸為4的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)是長(zhǎng)軸的一個(gè)頂點(diǎn)，過(guò)橢圓中心 （如圖），且，
            
          （I）求橢圓的方程；
            
          （Ⅱ）如果橢圓上的兩點(diǎn)，使的平分線垂直于，是否總存在實(shí)數(shù)，使。請(qǐng)給出證明。
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：2012-2013學(xué)年廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版）
				題型：填空題
			
          

						
          如圖，已知橢圓，O為原點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓右準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)M為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓交于P、Q兩點(diǎn)，直線PQ與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的取值范圍是    ．
          

			
          

			
          
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          同步練習(xí)冊(cè)答案