Question

如圖，已知橢圓，O為原點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓右準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)M為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓交于P、Q兩點(diǎn)，直線PQ與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：確定以O(shè)M為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的方程，利用圖形的對(duì)稱性，可知當(dāng)M在x軸上時(shí)，|AB|最小，當(dāng)M在無窮遠(yuǎn)時(shí)，|AB|最大，由此可求得結(jié)論．
解答：解：設(shè)M（，m），則以O(shè)M為直徑的圓的圓心為，半徑為．
所以圓的方程為①
以橢圓長軸為直徑的圓的方程為x²+y²=a²②
根據(jù)圖形可知，當(dāng)M在x軸上時(shí)，|AB|最小，此時(shí)方程①為③
②-③可得：x=c，代入橢圓方程，可得，∴，∴|AB|=．
當(dāng)M在無窮遠(yuǎn)時(shí)，|AB|最大，以O(shè)M為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓交于長軸的端點(diǎn)，∴|AB|→2a
∴|AB|的取值范圍是．
故答案為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查圓與橢圓的綜合，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想與極限思想，解題的關(guān)鍵是確定圓的方程，屬于中檔題．