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        1. (2012•深圳一模)如圖,已知橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的離心率為
          3
          2
          ,以橢圓C的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T:(x+2)2+y2=r2(r>0),設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N.
          (1)求橢圓C的方程;
          (2)求
          TM
          TN
          的最小值,并求此時(shí)圓T的方程;
          (3)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M,N的任意一點(diǎn),且直線MP,NP分別與x軸交于點(diǎn)R,S,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:|OR|•|OS|為定值.
          分析:(1)依題意,得a=2,e=
          c
          a
          =
          3
          2
          ,由此能求出橢圓C的方程.
          (2)法一:點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱,設(shè)M(x1,y1),N(x1,-y1),設(shè)y1>0.由于點(diǎn)M在橢圓C上,故y12=1-
          x12
          4
          .由T(-2,0),知
          TM
          TN
          =(x1+2,y1)•(x1+2,-y1)
          =
          5
          4
          (x1+
          8
          5
          )2-
          1
          5
          ,由此能求出圓T的方程.
          法二:點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱,故設(shè)M(2cosθ,sinθ),N(2cosθ,-sinθ),設(shè)sinθ>0,由T(-2,0),得
          TM
          TN
          =(2cosθ+2, sinθ)•(2cosθ+2, -sinθ)
          =5(cosθ+
          4
          5
          )2-
          1
          5
          ,由此能求出圓T的方程.
          (3)法一:設(shè)P(x0,y0),則直線MP的方程為:y-y0=
          y0-y1
          x0-x1
          (x-x0)
          ,令y=0,得xR=
          x1y0-x0y1
          y0-y1
          ,同理:xS=
          x1y0+x0y1
          y0+y1
          ,…(10分)故xRxS=
          x12y02-x02y12
          y02-y12
          ,由此能夠證明|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4為定值. 
          法二:設(shè)M(2cosθ,sinθ),N(2cosθ,-sinθ),設(shè)sinθ>0,P(2cosα,sinα),其中sinα≠±sinθ.則直線MP的方程為:y-sinα=
          sinα-sinθ
          2cosα-2cosθ
          (x-2cosα)
          ,由此能夠證明|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4為定值.
          解答:解:(1)依題意,得a=2,e=
          c
          a
          =
          3
          2
          ,
          ∴c=
          3
          ,b=
          4-3
          =1,
          故橢圓C的方程為
          x2
          4
          +y2=1
          .…(3分)
          (2)方法一:點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱,
          設(shè)M(x1,y1),N(x1,-y1),不妨設(shè)y1>0.
          由于點(diǎn)M在橢圓C上,所以y12=1-
          x12
          4
          .     (*)          …(4分)
          由已知T(-2,0),則
          TM
          =(x1+2, y1)
          ,
          TN
          =(x1+2, -y1)
          ,
          TM
          TN
          =(x1+2,y1)•(x1+2,-y1)

          =(x1+2)2-y12
          =(x1+2)2-(1-
          x12
          4
          )=
          5
          4
          x12+4x1+3

          =
          5
          4
          (x1+
          8
          5
          )2-
          1
          5
          .…(6分)
          由于-2<x1<2,
          故當(dāng)x1=-
          8
          5
          時(shí),
          TM
          TN
          取得最小值為-
          1
          5

          由(*)式,y1=
          3
          5
          ,故M(-
          8
          5
          ,
          3
          5
          )
          ,
          又點(diǎn)M在圓T上,代入圓的方程得到r2=
          13
          25

          故圓T的方程為:(x+2)2+y2=
          13
          25
          .…(8分)
          方法二:點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱,
          故設(shè)M(2cosθ,sinθ),N(2cosθ,-sinθ),
          不妨設(shè)sinθ>0,由已知T(-2,0),
          TM
          TN
          =(2cosθ+2, sinθ)•(2cosθ+2, -sinθ)

          =(2cosθ+2)2-sin2θ
          =5cos2θ+8cosθ+3
          =5(cosθ+
          4
          5
          )2-
          1
          5
          .…(6分)
          故當(dāng)cosθ=-
          4
          5
          時(shí),
          TM
          TN
          取得最小值為-
          1
          5

          此時(shí)M(-
          8
          5
          ,
          3
          5
          )
          ,
          又點(diǎn)M在圓T上,代入圓的方程得到r2=
          13
          25

          故圓T的方程為:(x+2)2+y2=
          13
          25
          . …(8分)
          (3)方法一:設(shè)P(x0,y0),
          則直線MP的方程為:y-y0=
          y0-y1
          x0-x1
          (x-x0)
          ,
          令y=0,得xR=
          x1y0-x0y1
          y0-y1
          ,
          同理:xS=
          x1y0+x0y1
          y0+y1
          ,…(10分)
          xRxS=
          x12y02-x02y12
          y02-y12
                (**) …(11分)
          又點(diǎn)M與點(diǎn)P在橢圓上,
          x02=4(1-y02)x12=4(1-y12),…(12分)
          代入(**)式,
          得:xRxS=
          4(1-y12)y02-4(1-y02)y12
          y02-y12
          =
          4(y02-y12)
          y02-y12
          =4

          所以|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4為定值.               …(14分)
          方法二:設(shè)M(2cosθ,sinθ),N(2cosθ,-sinθ),
          不妨設(shè)sinθ>0,P(2cosα,sinα),其中sinα≠±sinθ.
          則直線MP的方程為:y-sinα=
          sinα-sinθ
          2cosα-2cosθ
          (x-2cosα)
          ,
          令y=0,得xR=
          2(sinαcosθ-cosαsinθ)
          sinα-sinθ
          ,
          同理:xS=
          2(sinαcosθ+cosαsinθ)
          sinα+sinθ
          ,…(12分)
          xRxS=
          4(sin2αcos2θ-cos2αsin2θ)
          sin2α-sin2θ
          =
          4(sin2α-sin2θ)
          sin2α-sin2θ
          =4

          所以|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4為定值.…(14分)
          點(diǎn)評:本題考查橢圓的方程和幾何性質(zhì)、圓的方程等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力,考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•深圳一模)隨機(jī)調(diào)查某社區(qū)80個(gè)人,以研究這一社區(qū)居民在20:00-22:00時(shí)間段的休閑方式與性別有關(guān)系,得到下面的數(shù)據(jù)表:
          休閑方式
          性別
          看電視 看書 合計(jì)
          10 50 60
          10 10 20
          合計(jì) 20 60 80
          (1)將此樣本的頻率估計(jì)為總體的概率,隨機(jī)調(diào)查3名在該社區(qū)的男性,設(shè)調(diào)查的3人在這一時(shí)間段以看書為休閑方式的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和期望;
          (2)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有99%的把握認(rèn)為“在20:00-22:00時(shí)間段的休閑方式與性別有關(guān)系”?
          參考公式:K2=
          n(ad-bc)2
          (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
          ,其中n=a+b+c+d
          參考數(shù)據(jù):
          P(K2≥K0 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
          K0 2.072 2.706 3.841 5.042 6.635

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•深圳一模)已知點(diǎn)P(x,y)在不等式組
          x-2≤0
          y-1≤0
          x+2y-2≥0
          表示的平面區(qū)域上運(yùn)動(dòng),則z=x-y的最小值是(  )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•深圳一模)已知等比數(shù)列{an}的第5項(xiàng)是二項(xiàng)式(
          x
          -
          1
          3x
          )6
          展開式的常數(shù)項(xiàng),則a3a7=
          25
          9
          25
          9

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•深圳一模)如圖,平行四邊形ABCD中,AB⊥BD,AB=2,BD=
          2
          ,沿BD將△BCD折起,使二面角A-BD-C是大小為銳角α的二面角,設(shè)C在平面ABD上的射影為O.

          (1)當(dāng)α為何值時(shí),三棱錐C-OAD的體積最大?最大值為多少?
          (2)當(dāng)AD⊥BC時(shí),求α的大。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•深圳一模)已知數(shù)列{an}滿足:a1=
          1
          2
          ,an+1=
          an
          enan+e
          ,n∈N*
          (其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).
          (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;
          (2)設(shè)Sn=a1+a2+…+an,Tn=a1•a2•a3•…•an,求證:Sn
          n
          n+1
          ,Tne-n2

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          同步練習(xí)冊答案