【題目】已知函數
.
（1）證明函數
在
上是減函數，
上是增函數；
（2）若方程
有且只有一個實數根，判斷函數
的奇偶性；
（3）在（2）的條件下探求方程
的根的個數.
【答案】（1）證明詳見解析；（2）
為偶函數；（3）
時
只有一解，
時有兩解.
【解析】
試題分析：（1）函數
，利用函數單調性定義進行證明，設
的
上任意兩個不等的實數，且
，則
，
，由于
，所以
，則
，所以函數
在區(qū)間
上單調遞減，同理可證在區(qū)間
單調遞增；（2）方程
等價于方程
有且只有一個實數根，則
，因為
，所以
，則此時函數
，
，易證明函數
為奇函數；（3）在（2）的條件下，
即
，根據第（2）證明所得的單調性可知，當
即時只有一解 ，當
即時有兩解.
試題解析：（1）由題意：
任取
且使
則
在
上是減函數
同理可證 
在 
上是增函數
（2）由題意知方程有且只有一個實數根
又
此時
，
又
的定義域為
關于原點對稱，
且
，
是奇函數
（3）由（2）知可化為
又由（1）（2）知：
當 即時只有一解
當 即時有兩解
綜上，當時只有一解；
當
時有兩解；
步步高達標卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的一個焦點為
,且該橢圓過定點
.
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）設點
,過點
作直線
與橢圓交于
兩點,且
,以
為鄰邊作平行四邊形
,求對角線
長度的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某單位共有10名員工，他們某年的收入如下表：
員工編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
年薪（萬元） | 3 | 3.5 | 4 | 5 | 5.5 | 6.5 | 7 | 7.5 | 8 | 50 |
（1）從該單位中任取2人，此2人中年薪收入高于5萬的人數記為
，求
的分布列和期望；
（2）已知員工年薪收入
與工作所限
成正相關關系，某員工工作第一年至第四年的年薪如下表：
工作年限 | 1 | 2 | 3 | 4 |
年薪（萬元） | 3.0 | 4.2 | 5.6 | 7.2 |
預測該員工第五年的年薪為多少？
附：線性回歸方程
中系數計算公式和參考數據分別為：
，
，其中
為樣本均值，
，
，（
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某班級有50名學生,現(xiàn)要采取系統(tǒng)抽樣的方法在這50名學生中抽出10名學生,將這50名學生隨機編為1~50號,并進行分組,第一組1~5號,第二組6~10號,…,第十組46~50號.若在第三組中抽得號碼為12的學生,則在第九組中抽得號碼為_____的學生.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設a1，d為實數，首項為a1，公差為d的等差數列{an}的前n項和為Sn，滿足S5S6＋15＝0．
（1）若S5＝5，求S6及a1；
（2）求d的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若函數
滿足：
，則稱為“
函數”．
（1）試判斷
是否為“函數”，并說明理由；
（2）若為“函數”且
，
（ⅰ）求證：的零點在
上；
（ii）求證：對任意
，存在
，使
在
上恒成立．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】直線l交拋物線y2=2x于A、B兩點，且OA⊥OB，則直線l過定點（ ）
A. （1，0） B. （2，0） C. （3，0） D. （4，0）
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