Question

已知為函數(shù)圖象上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線的斜率．
（1）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng) 時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）求證：．

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析.

試題分析：（1）在函數(shù)定義域范圍內(nèi)求函數(shù)的極值，則極值點(diǎn)在內(nèi)；（2）首先根據(jù)條件分離出變量，由轉(zhuǎn)化成求的最小值（利用二次求導(dǎo)判單調(diào)性）；（3）結(jié)合第（2）問構(gòu)造出含
的不等關(guān)系，利用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行化簡(jiǎn)求和.
試題解析：（1）由題意，              1分
所以                   2分
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故在處取得極大值．                      3分
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間（其中）上存在極值，
所以，得．即實(shí)數(shù)的取值范圍是．        4分
（2）由得，令，
則．                           6分
令，則，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020723368380.png" style="vertical-align:middle;" />所以,故在上單調(diào)遞增．        7分
所以,從而
在上單調(diào)遞增,
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．                    9分
（3）由(2) 知恒成立,
即         11分
令則，        12分
所以， ，  ,．
將以上個(gè)式子相加得：
，
故．               14分