Question

已知函數(shù).
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）求的單調(diào)區(qū)間．
（3）設，如果過點可作曲線的三條切線，證明：

Answer 1

（1）
（2）是增區(qū)間；是減區(qū)間
（3）根據(jù)導數(shù)的幾何意義，結合極值的符號來得到比較大小。

試題分析：解：①根據(jù)題意，由于函數(shù).則可知函數(shù)，那么曲線在點處的切線斜率為2，那么根據(jù)點斜式方程可知
②結合函數(shù)的導數(shù)的符號得到，那么當導數(shù)大于零時，得到x的范圍是是增區(qū)間；當導數(shù)小于零時，得到的x的范圍是是減區(qū)間
③設切點為，
易知，所以，
可化為 ①
于是，若過點可作曲線的三條切線，則方程①有三個相異實數(shù)根，記，
則，易知的極大值為，極小值為
綜上，如果過可作曲線三條切線，則
即：
點評：主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用，屬于基礎題。