Question

已知函數(shù).
（1）若在上的最大值為，求實數(shù)的值；
（2）若對任意，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，設(shè)，對任意給定的正實數(shù)，曲線 上是否存在兩點、，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？請說明理由。

Answer 1

（1）（2）（3）對任意給定的正實數(shù)，曲線 上總存在兩點，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上

試題分析：（1）由，得，
令，得或．
列表如下：

			0
			0		0
			極小值		極大值

∵，，，
即最大值為，．                  4分
（2）由，得．
，且等號不能同時取，，
恒成立，即．
令，求導得，，
當時，，從而，
在上為增函數(shù)，，．            8分
（3）由條件，，
假設(shè)曲線上存在兩點滿足題意，則只能在軸兩側(cè)，
不妨設(shè)，則，且．
是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，
， ，              10分
是否存在等價于方程在且時是否有解．
①若時，方程為，化簡得，
此方程無解；                            11分
②若時，方程為，即，
設(shè)，則，
顯然，當時，，即在上為增函數(shù)，
的值域為，即，
當時，方程總有解．
對任意給定的正實數(shù)，曲線 上總存在兩點，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上．      14分
點評：求函數(shù)最值通過函數(shù)導數(shù)求得極值，比較極值與閉區(qū)間的邊界值的大小得最值，不等式恒成立中求參數(shù)范圍的題目常采用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題