Question

【題目】已知定點(diǎn)、，直線、相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，使得直線與斜率之積為定值，若存在求出坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) 曲線的方程為 ;(2)見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，利用斜率公式，由，化簡(jiǎn)即可得到曲線的方程；

（2）由已知直線過(guò)點(diǎn)，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，得，

得到的表達(dá)式，即可確定定值，得到定點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析：

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則， ，

， 即．

化簡(jiǎn)得： ，

由已知，故曲線的方程為 ．

（2）由已知直線過(guò)點(diǎn)，

設(shè)的方程為，則聯(lián)立方程組，

消去得,

設(shè)， ，則，

直線與斜率分別為， ，

．

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ．

所以存在定點(diǎn)，使得直線與斜率之積為定值．