Question

【題目】已知實(shí)數(shù)對(duì)滿足.

（1）求的最大值和最小值；

（2）求的最小值；

（3）求的最值

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）整理方程可知，方程表示以點(diǎn)（2，0）為圓心，以為半徑的圓，設(shè)，進(jìn)而根據(jù)圓心（2，0）到的距離為半徑時(shí)直線與圓相切，斜率取得最大、最小值；
（2）設(shè)，僅當(dāng)直線與圓切于第四象限時(shí)，縱軸截距取最小值，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑求得的最小值；
（3）是圓上點(diǎn)與原點(diǎn)距離之平方，故連接，與圓交于B點(diǎn)，并延長(zhǎng)交圓于，進(jìn)而可知的最大值和最小值分別為和，答案可得.

解：（1）方程，即

表示以點(diǎn)（2，0）為圓心，以為半徑的圓.
設(shè)，即，

當(dāng)圓心（2，0）到的距離為半徑時(shí)直線與圓相切，此時(shí)斜率分別取得最大、最小值，

由，
解得，
所以；

（2）設(shè)，則，僅當(dāng)直線與圓切于第四象限時(shí)，縱軸截距取最小值.
由點(diǎn)到直線的距離公式，得，即或，
故；

（3）是圓上點(diǎn)與原點(diǎn)距離之平方，故連接OC，與圓交于B點(diǎn)，并延長(zhǎng)交圓于，可知B到原點(diǎn)的距離最近，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大，

此時(shí)有，
則.