Question

【題目】已知直線：和圓：，給出下列說法：①直線和圓不可能相切；②當時，直線平分圓的面積；③若直線截圓所得的弦長最短，則；④對于任意的實數(shù)，有且只有兩個的取值，使直線截圓所得的弦長為.其中正確的說法個數(shù)是（ ）

A.4個B.3個C.2個D.1個

Answer 1

【答案】B

【解析】

①直線的方程可以變形為，可得直線的必過定點A（1，3），然后利用圓C的圓心為點（1，3），然后算出即可判斷是否相切，即可判斷①

②當時，直線經(jīng)過圓心（2，1），明顯地，直線平分圓C的面積，這樣就可以判斷②

③由①得，直線的必過定點A（1，3），直線被圓C截得的弦長的最小值時，弦心距最大，然后解出即可判斷③；

④當，即時，直線的斜率為，利用反證法，即可判斷④

①圓C的標準方程為,圓心坐標（2，1）,半徑，直線的方程

可以變形為，可得直線的必過定點（1，3），

又，所以點（1，3）在圓C內，所以直線和圓C相交，不可能相切

故：①正確

②當時，直線的方程為，即，又由直線經(jīng)過圓心（2，1），所以當時，直線平分圓C的面積，

故：②正確

③由①得，直線的必過定點A（1，3），直線被圓C截得的弦長的最小值時，弦心距最大，此時，對于圓心C與A連成的直線CA，必有，又的斜率為，的斜率為，則有，解出

故：③正確

④當，即時，直線的斜率為，

過點（1，3）且斜率為的直線方程為，即，

圓心（2，1)到直線的距離，

所以直線截圓C所得的弦長，滿足，

但直線的斜率不可能為，從而直線的方程不可能為，若，則只存在一個的取值，使得直線截圓C所得的弦長為

故：④不正確

故選：B