Question

以A表示值域為R的函數組成的集合，B表示具有如下性質的函數φ（x）組成的集合：對于函數φ（x），存在一個正數M，使得函數φ（x）的值域包含于區(qū)間[-M，M]．例如，當φ₁（x）=x³，φ₂（x）=sinx時，φ₁（x）∈A，φ₂（x）∈B．現有如下命題：
①設函數f（x）的定義域為D，則“f（x）∈A”的充要條件是“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”；
②函數f（x）∈B的充要條件是f（x）有最大值和最小值；
③若函數f（x），g（x）的定義域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，則f（x）+g（x）∉B．
④若函數f（x）=aln（x+2）+

x

x2+1

（x＞-2，a∈R）有最大值，則f（x）∈B．
其中的真命題有

 

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,充要條件,全稱命題,特稱命題,函數的值域

專題：新定義,極限思想,函數的性質及應用,不等式的解法及應用,簡易邏輯

分析：根據題中的新定義，結合函數值域的概念，可判斷出命題①②③是否正確，再利用導數研究命題④中函數的值域，可得到其真假情況，從而得到本題的結論．

解答： 解：（1）對于命題①，若對任意的b∈R，都?a∈D使得f（a）=b，則f（x）的值域必為R．反之，f（x）的值域為R，則對任意的b∈R，都?a∈D使得f（a）=b，故①是真命題；
   （2）對于命題②，若函數f（x）∈B，即存在一個正數M，使得函數f（x）的值域包含于區(qū)間[-M，M]．
∴-M≤f（x）≤M．例如：函數f（x）滿足-2＜f（x）＜5，則有-5≤f（x）≤5，此時，f（x）無最大值，無最小值，故②是假命題；
   （3）對于命題③，若函數f（x），g（x）的定義域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，則f（x）值域為R，f（x）∈（-∞，+∞），并且存在一個正數M，使得-M≤g（x）≤M．故f（x）+g（x）∈（-∞，+∞）．
則f（x）+g（x）∉B，故③是真命題；
   （4）對于命題④，∵-

1

2

≤

x

x2+1

≤

1

2

，
當a＞0或a＜0時，alnx∈（-∞，+∞），f（x）均無最大值，若要使f（x）有最大值，則a=0，此時f（x）=

x

x2+1

，f（x）∈B，故④是真命題．
故答案為①③④．

點評：本題考查了函數值域的概念、基本不等式、充要條件，還考查了新定義概念的應用和極限思想．本題計算量較大，也有一定的思維難度，屬于難題．