Question

橢圓

x2

25

+

y2

16

=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，弦AB過(guò)F₁，若△ABF₂的內(nèi)切圓面積為π，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），則|y₂-y₁|的值為（　�。�

• A、

  5

  3

• B、

  10

  3

• C、

  20

  3

• D、

  5

  3

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓方程求得焦距|F₁F₂|=6，由橢圓的定義算出△ABF₂的周長(zhǎng)為4a=20，由圓面積公式算出△ABF₂的內(nèi)切圓半徑r=1．利用內(nèi)切圓的性質(zhì)把△PF₁F₂分割成3個(gè)三角形，由三角形的面積公式算出△PF₁F₂的面積等于10，再利用面積相等建立關(guān)系式得到關(guān)于|y₂-y₁|的等式，解之即可求得|y₂-y₁|的值．

解答：解：橢圓

x2

25

+

y2

16

=1中，a=5，b=4，
∴c=

a2-b2

=3，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0）．
根據(jù)橢圓的定義得|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=10，
∴△ABF₂的周長(zhǎng)為|AB|+|AF₂|+|BF₂|
=（|AF₁|+|AF₂|）+（|BF₁|+|BF₂|）=20
設(shè)△ABF₂的內(nèi)切圓的圓心為I，半徑為r，
由內(nèi)切圓面積S=πr²=π，解得r=1
∴S△ABF2=S_△ABI+S△AF2I+S△BF2I=

1

2

|AB|r+|AF₂|r+|BF₂|r
=

1

2

（|AB|+|AF₂|+|BF₂|）×r=

1

2

×20×1=10，
又∵S△ABF2=

1

2

|F₁F₂|•|y₂-y₁|，
∴

1

2

×6×|y₂-y₁|=10，解得|y₂-y₁|=

10

3

．
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓的內(nèi)接三角形的內(nèi)切圓面積，求|y₂-y₁|的縱坐標(biāo)．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)和三角形的面積公式等知識(shí)，屬于中檔題．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓的定義與性質(zhì)，熟練運(yùn)用三角形的內(nèi)切圓的有關(guān)知識(shí)．