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          【題目】已知函數f(x)=﹣alnx++x(a≠0)
          (I)若曲線y=f(x)在點(1,f(1)))處的切線與直線x﹣2y=0垂直,求實數a的值;
          (Ⅱ)討論函數f(x)的單調性;
          (Ⅲ)當a∈(﹣∞,0)時,記函數f(x)的最小值為g(a),求證:g(a)≤﹣e﹣4

          【答案】解:(I)由已知可知f(x)的定義域為{x|x>0}
          (x>0)
          根據題意可得,f′(1)=2×(﹣1)=﹣2
          ∴﹣a﹣2a2+1=﹣2
          ∴a=1或a=﹣
          (II)∵=
          ①a>0時,由f′(x)>0可得x>2a
          由f′(x)<0可得0<x<2a
          ∴f(x)在(2a,+∞)上單調遞增,在(0,2a)上單調遞減
          ②當a<0時,
          由f′(x)>0可得x>﹣a
          由f′(x)<0可得0<x<﹣a
          ∴f(x)在(﹣a,+∞)上單調遞增,在(0,﹣a)上單調遞減
          (III)由(II)可知,當a∈(﹣∞,0)時,函數f(x)的最小值f(﹣a)
          故g(a)=f(﹣a)=﹣aln(﹣a)﹣3a
          則g′(a)=﹣ln(﹣a)﹣4
          令g′(a)=0可得﹣ln(﹣a)﹣4=0
          ∴a=﹣e﹣4
          當a變化時,g’(a),g(a)的變化情況如下表

          ∴a=﹣e﹣4是g(a)在(﹣∞,0)上的唯一的極大值,從而是g(a)的最大值點
          當a<0時,=﹣e﹣4
          ∴a<0時,g(a)≤﹣e﹣4
          【解析】(I)先求f(x)的定義域為{x|x>0},先對已知函數進行求導,由f′(1)=﹣2可求a
          (II)由=通過比較﹣a與2a的大小解不等式f′(x)>0,f′(x)<0,從而可求函數的單調區(qū)間
          (III)由(II)可知,當a∈(﹣∞,0)時,函數f(x)的最小值f(﹣a),結合已知可求a,然后結合已知單調性可求 , 從而可證
          【考點精析】認真審題,首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞減).

          練習冊系列答案
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          ·(2)y= ,y= ;
          ·(3)y=|x|,y= ;
          ·(4)y=x,y= ;
          ·(5)y=(2x﹣5)2 , y=|2x﹣5|.
          A.(1),(2)
          B.(2),(3)
          C.(3),(5)
          D.(3),(4)

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