Question

若f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的最小值及相應(yīng)x的取值集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先把f（x）化為一角一函數(shù)的形式，然后利用周期公式求解；
（Ⅱ）根據(jù)正弦函數(shù)的有界性可得f（x）的最小值，通過解簡(jiǎn)單的三角方程可得答案；

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

sin2x+cos2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1，
由T=

2π

2

=π，知函數(shù)f（x）的最小正周期是π．
（Ⅱ）當(dāng)sin（2x+

π

6

）=-1時(shí)，f（x）取得最小值，
f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1(x∈R)的最小值為-2+1=-1，
此時(shí)相應(yīng)的x的取值集合由2x+

π

6

=

3π

2

+2kπ(k∈Z)，得{x|x=

2π

3

+kπ，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角的正弦、余弦，考查三角函數(shù)的周期及其求法，屬中檔題．