Question

已知函數(shù)f(x)=2

3

sinx-2cosx
（Ⅰ）若x∈[0，π]，求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x）=0，求

2cos2 x 2 -sinx-1

2 sin(x+ π 4 )

的值．

Answer 1

分析：f（x）解析式提取4變形后，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，
（Ⅰ）根據(jù)x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可求出f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）根據(jù)f（x）=0求出tanx的值，所求式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，將tanx的值代入計算即可求出值．

解答：解：f（x）=4（

3

2

sinx-

1

2

cosx）=4sin（x-

π

6

），
（Ⅰ）∵x∈[0，π]，∴x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（x-

π

6

）≤1，即-2≤4sin（x-

π

6

）≤4，
則f（x）的最大值為4，最小值為-2；
（Ⅱ）∵f（x）=2

3

sinx-2cosx=0，即tanx=

3

3

，
∴原式=

cosx-sinx

sinx+cosx

=

1-tanx

1+tanx

=

1- 3 3

1+ 3 3

=2-

3

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角函數(shù)的化簡求值，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．