Question

設f(log2x)=x+

a

x

（a是常數(shù)）．
（1）求f （x）的表達式；
（2）如果f （x）是偶函數(shù)，求a的值；
（3）當f （x）是偶函數(shù)時，討論函數(shù)f （x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

分析：（1） 令t=log₂x，則x=2^t，代入解析式換元即可求出外層函數(shù)的解析式；
（2）f （x）是偶函數(shù)，則可得到方程f （-x）=f （x）由此解方程即可求a，求解時要注意恒成立怎么轉(zhuǎn)化．
（3）由（2）得到的解析式進行討論，設0＜x₁＜x₂，研究f（x₂）-f（x₁）差的符號，進而判斷出其單調(diào)性，做本題時要注意做題的格式，先判斷再證明

解答：解：（1）令t=log₂x，則x=2^t，于是f(t)=2t+

a

2t

∴f(x)=2x+

a

2x

（3分）
（2）∵f（x）是偶函數(shù)，∴2-x+

a

2-x

=2x+

a

2x

對任意x∈R恒成立
即(a-1)(2x+

1

2x

)=0對任意x∈R恒成立
∴a-1=0，即a=（16分）
（3）f （x）是偶函數(shù)時，討論函數(shù)f （x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，
證明如下
f(x)=2x+

1

2x

，設0＜x₁＜x₂，則f(x2)-f(x1)=(2x2+

1

2x2

)-(2x1+

1

2x1

)=(2x2-2x1)(1-

1

2x1+x2

)（8分）
∵x₁＜x₂，且y=2^x是增函數(shù)，∴2x2＞2x1，即2x2-2x1＞0
∵0＜x₁＜x₂，x₁+x₂＞0，∴2x1+x2＞1  ?

1

2x1+x2

＜1（10分）
故1-

1

2x1+x2

＞0
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）
∴當x∈（0，+∞）時，f（x）是增函數(shù)．（12分）

點評：本題考查換元法求外層函數(shù)的解析式以及通過函數(shù)的奇偶性建立方程求參數(shù)，用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，本題涉及面廣，知識點多，綜合性較強．