Question

已知f(x)=ex-

1

2

(1+a)x2．
（1）求f（x）在x=0處的切線方程；
（2）若f（x）在區(qū)間x∈（0，2]為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把x=0代入到導(dǎo)函數(shù)中求出切線的斜率，寫出切線方程即可；
（2）由f（x）在x∈（0，2]為增函數(shù)得到導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間x∈（0，2]上恒大于等于0，即a+1＜

ex

x

在0＜x≤2上恒成立，可設(shè)g（x）=

ex

x

，求出其導(dǎo)函數(shù)=0時(shí)x的值，討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到g（x）的最小值，讓a+1小于g（x）的最小值即可得到a的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=e^x-（1+a）x，把x=0代入得到切線的斜率k=f′（0）=1，
然后求出f（0）=1，
所以切線方程為：y-1=1×（x-0）即y=x+1；
（2）f′（x）=e^x-（1+a）x≥0在區(qū)間x∈（0，2]上恒成立
即(a+1)＜

ex

x

在0＜x≤2上恒成立．
令g(x)=

ex

x

，g′(x)=

(x-1)ex

x2

當(dāng)x=1時(shí)g(x)=

ex

x

有最小值e
所以a＜e-1．

點(diǎn)評：考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，會利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，掌握不等式恒成立時(shí)所取的條件．