Question

a、b∈R⁺，

a

b

≠

2

，求證：

2

在

a

b

與

a+2b

a+b

之間

Answer 1

分析：本題考查的知識點(diǎn)是不等式的證明--比較法，要證明兩個數(shù)a，b的大小關(guān)系，我們可以判斷a-b與0的關(guān)系，則要證明

2

在

a

b

與

a+2b

a+b

之間，我們可以構(gòu)造

a+2b

a+b

-

2

，證明若

a

b

＞

2

時，

a+2b

a+b

-

2

＜0；若

a

b

＜

2

時

a+2b

a+b

-

2

＞0．

解答：證明：∵

a+2b

a+b

-

2

=

(1- 2 )a+(2- 2 )b

a+b

=

(1- 2 )a- 2 (1- 2 )b

a+b

=

(1- 2 )(a- 2 b)

a+b

又∵a、b∈R⁺，

a

b

≠

2

若

a

b

＞

2

，則a＞

2

b，此時

a+2b

a+b

-

2

＜0，即

a+2b

a+b

＜

2

＜

a

b

；
若

a

b

＜

2

，則a＜

2

b，此時

a+2b

a+b

-

2

＞0，即

a

b

＜

2

＜

a+2b

a+b

；
故：

2

在

a

b

與

a+2b

a+b

之間．

點(diǎn)評：比較法證明不等式是不等式證明中最常用的方法，其方法為：
若證f（x）＞g（x），則可轉(zhuǎn)化為證明f（x）-g（x）＞0；
若證f（x）＜g（x），則可轉(zhuǎn)化為證明f（x）-g（x）＜0；