Question

設(shè)f（x）=asin2x+bcos2x，a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤|f（

π

6

）|對一切x∈R恒成立，則
①f（

11π

12

）=0．
②|f（

7π

10

）|＜|f（

π

5

）|．
③f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
④f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）．
以上結(jié)論正確的是

①③

（寫出正確結(jié)論的編號）．

Answer 1

分析：由f（x）≤|f（

π

6

）|可知x=

π

6

是函數(shù)f（x）的對稱軸，然后根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別進行判斷即可．

解答：解：則f（x）=asin2x+bcos2x=

a2+b2

sin(2x+θ)，其中cos?θ=

a

a2+b2

，sin?θ=

b

a2+b2

，
若f（x）≤|f（

π

6

）|可知x=

π

6

是函數(shù)f（x）的對稱軸，
∴2×

π

6

+θ=

π

2

+kπ，則θ=

π

6

+kπ，k∈Z，
∴f(x)=

a2+b2

sin?(2x+

π

6

+kπ)=±

a2+b2

sin?(2x+

π

6

)，
①f（

11π

12

）=±

a2+b2

sin?(2×

11π

12

+

π

6

)=±

a2+b2

sin?2π=0，成立．
②|f（

7π

10

）|=|±

a2+b2

sin?(2×

7π

10

+

π

6

)|=

a2+b2

|sin?(

7π

5

+

π

6

)|═

a2+b2

|sin?(

2π

5

+

π

6

)|
|f（

π

5

）|=|±

a2+b2

sin?(2×

π

5

+

π

6

)|=

a2+b2

|sin?(

2π

5

+

π

6

)|，
∴|f（

7π

10

）|=|f（

π

5

）|，∴②錯誤．
③由函數(shù)表達式可知f（-x）≠f（x），且f（-x）≠-f（x），∴f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，∴③正確．
④∵f(x)=

a2+b2

sin?(2x+

π

6

+kπ)=±

a2+b2

sin?(2x+

π

6

)，表達式不確定，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間不確定，∴④錯誤．
故答案為：①③．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，運算量較大．