Question

△OAB是邊長(zhǎng)為4的正三角形，CO⊥平面OAB且CO=2，設(shè)D、E分別是OA、AB的中點(diǎn)．
（1）求證：OB∥平面CDE；
（2）求三棱錐O-CDE的體積；
（3）在CD上是否存在點(diǎn)M，使OM⊥平面CDE，若存在，則求出M點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）證明：∵DE是△AOB的中位線
∴DE∥OB
又∵DE?平面CDE，OB?平面CDE
∴OB∥平面CDE；
（2）∵△OAB是邊長(zhǎng)為4的正三角形，
D、E分別是OA、AB的中點(diǎn)，
∴DE=2，∴S△ODE=

1

2

×2×

3

=

3

，
又∵CO⊥平面OAB且CO=2，
∴V_O-CDE=V_C-ODE=

1

3

×S△ODE×OC=

2 3

3

；
（3）假設(shè)在CD上存在點(diǎn)M，使OM⊥平面CDE，則OM⊥DE，
又∵CO⊥DE，CO∩OM=O，∴DE⊥平面OCD，∴DE⊥OA，
這與已知∠DEA=60°矛盾，
∴在CD上不存在點(diǎn)M，使OM⊥平面CDE．