Question

已知圓過三點O(0，0)，M(1，1)，N(4，2) (1) 求圓的方程. (2) 若點P(x，y)在圓上運動，求  y+3 x+6  的最大、最小值

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)所求的圓的方程為 x²+y²+Dx+Ey+F=0，把圓經(jīng)過的點的坐標(biāo)代入，求出待定系數(shù)D、E、F的值，即可求得所求的圓的方程．
（2）設(shè)k=

y+3

x+6

，則k表示圓上的點與點（-6，-3）連線的斜率，本題即求k的最值．當(dāng)直線和圓相切時，k取得最值，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求得k值，可得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)所求的圓的方程為 x²+y²+Dx+Ey+F=0，把圓經(jīng)過的點的坐標(biāo)代入可得

F=0 D+E+F=0 4D+2E+F+20=0

，

D=-8 E=6 F=0

，故所求的圓的方程為 x²+y²-8x+6y=0．
（2）設(shè)k=

y+3

x+6

，則k表示圓上的點與點（-6，-3）連線的斜率，且 y+3=k（x+6），即 kx-y+6k-3=0．
由于圓即 （x-4）²+（y-3）²=25，故圓心為C（4，-3），半徑為5，
當(dāng)直線和圓相切時，由 5=

|4k+3+6k-3|

k2+1

 k=

3

3

，或 k=-

3

3

．
故k的最大值為

3

3

，最小值為-

3

3

．

點評：本題主要考查直線的斜率公式的應(yīng)用，直線和圓的位置關(guān)系，用待定系數(shù)法求圓的方程，屬于中檔題．