Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，以頂點A為球心，為半徑作一個球，則球面與正方體的表面相交所得到的曲線的長等于       。

Answer 1

如圖，球面與正方體的六個面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點A所在的
三個面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；另一類在不過頂點A的三個面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上。在面AA₁B₁B上，交線為弧EF且在過球心A的大圓上，因為，AA₁=1，則。同理，所以，故弧EF的長為，而這樣的弧共有三條。在面BB₁C₁C上，交線為弧FG且在距球心為1的平面與球面相交所得的小圓上，此時，小圓的圓心為B，半徑為，，所以弧FG的長為。這樣的弧也有三條。
于是，所得的曲線長為。