Question

【題目】已知函數(shù)，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ），使得不等式成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析．

【解析】

試題第一問根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上的最大值小于等于在區(qū)間上的最大值，之后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得相應(yīng)的最值，第二問轉(zhuǎn)化不等式，將問題轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)的最小值大于另一個函數(shù)的最大值，從而求得結(jié)果．

試題解析：（Ⅰ） 由題意，，使得不等式成立，

等價于．1分

，

當(dāng)時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以時，取得最大值1．即

又當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞減，所以，

故在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，時，．

所以，則．

實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（Ⅱ）當(dāng)時，要證，只要證，

即證，由于，

只要證．

下面證明時，不等式成立．

令，則，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，單調(diào)遞增．

所以當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值為1．

法一：，則，即，即，

由三角函數(shù)的有界性，，即，所以，而，

但當(dāng)時，；時，

所以，，即

綜上所述，當(dāng)時，成立．

法二：令，其可看作點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，

所以直線的方程為：，

由于點(diǎn)在圓上，所以直線與圓相交或相切，

當(dāng)直線與圓相切且切點(diǎn)在第二象限時，

直線取得斜率的最大值為．而當(dāng)時，；

時，．所以，，即

綜上所述，當(dāng)時，成立．

法三：令，則，

當(dāng)時，取得最大值1，而，

但當(dāng)時，；時，

所以，，即

綜上所述，當(dāng)時，成立．