Question

如圖已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且過(guò)點(diǎn)A（0，1）．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于M，N兩點(diǎn)．求證：直線MN恒過(guò)定點(diǎn)P（0，-

3

5

）．

Answer 1

分析：（1）由題意知，e=

c

a

=

3

2

，b=1，a²-c²=1，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)直線l₁的方程為y=kx+1，由方程組

y=kx+1 x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8kx=0，利用題設(shè)條件推導(dǎo)出直線MP與直線NP的斜率相等，從而得到M，N，P三點(diǎn)共線，由此證明直線MN恒過(guò)定點(diǎn)P（0，-

3

5

）．

解答：解：（1）由題意知，e=

c

a

=

3

2

，b=1，a²-c²=1，…（4分）
解得a=2，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1．…（6分）
（2）設(shè)直線l₁的方程為y=kx+1，
由方程組

y=kx+1 x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8kx=0，…（8分）
解得x1=-

8k

4k2+1

，x₂=0，所以xM=-

8k

4k2+1

，y_M=

1-4k2

4k2+1

，…（10分）
同理可得xN=

8k

k2+4

，yN=

k2-4

k2+4

，…（12分）
kMP=

1-4k2 4k2+1 + 3 5

- 8k 4k2+1

=

- 8k2 5 + 8 5

-8k

=

k2-1

5k

，
kNP=

k2-4 k2+4 + 3 5

8k k2+4

=

8k2 5 - 8 5

8k

=

k2-1

5k

，…（14分）
所以M，N，P三點(diǎn)共線，故直線MN恒過(guò)定點(diǎn)P（0，-

3

5

）．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線恒過(guò)定點(diǎn)，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．