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        1. 如圖,已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的左右焦點分別為F1,F(xiàn)2,短軸兩個端點分別為A,B,且四邊形F1AF2B是邊長為2 的正方形.
          (1)求橢圓的方程;
          (2)若C,D分別為長軸的左右端點,O為坐標(biāo)原點,動點M滿足MD⊥CD,連接CM,交橢圓于點P,判斷
          OM
          OP
          是否為定值,若是,求出該定值,若不是,請說明理由.
          分析:(1)由于四邊形F1AF2B是邊長為2 的正方形,可得a=2,b=c,再利用a2=b2+c2即可解出b,c;
          (2)判斷
          OM
          OP
          是定值4.設(shè)M(2,m),P(s,t),C(-2,0).則直線CM的方程為:y=
          m
          4
          (x+2)
          ,與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系,即可得出點M的坐標(biāo)用m表示,再利用數(shù)量積運(yùn)算即可得出
          OM
          OP
          是定值.
          解答:解:(1)∵四邊形F1AF2B是邊長為2 的正方形,∴a=2,b=c,
          ∵a2=b2+c2,∴b=c=
          2

          ∴橢圓的方程為
          x2
          4
          +
          y2
          2
          =1

          (2)判斷
          OM
          OP
          是定值4.下面給出證明:
          設(shè)M(2,m),P(s,t),C(-2,0).
          則直線CM的方程為:y=
          m
          4
          (x+2)
          ,聯(lián)立
          y=
          m
          4
          (x+2)
          x2
          4
          +
          y2
          2
          =1

          化為(8+m2)x2+4m2x+4m2-32=0,
          ∵直線與橢圓有兩個交點,∴△=16m4-4(8+m2)(4m2-32)>0,化為1>0.
          ∴-2×s=
          4m2-32
          8+m2
          ,解得s=
          16-2m2
          8+m2

          t=
          8m
          8+m2
          .∴M(
          16-2m2
          8+m2
          8m
          8+m2
          )

          OM
          OP
          =(2,m)•(
          16-2m2
          8+m2
          ,
          8m
          8+m2
          )
          =
          32-4m2
          8+m2
          +
          8m2
          8+m2
          =4為定值.
          點評:本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,屬于難題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          過點C(
          3
          2
          ,
          3
          2
          )
          且離心率為
          6
          3
          ,A、B是長軸的左右兩頂點,P為橢圓上意一點(除A,B外),PD⊥x軸于D,若
          PQ
          QD
          ,λ∈(-1,0)

          (1)試求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
          (2)P在C處時,若∠QAB=2∠PAB,試求過Q、A、D三點的圓的方程;
          (3)若直線QB與AP交于點H,問是否存在λ,使得線段OH的長為定值,若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•汕頭一模)如圖.已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的長軸為AB,過點B的直線l與x軸垂直,橢圓的離心率e=
          3
          2
          ,F(xiàn)1為橢圓的左焦點且
          AF1
          F1B
          =1.
          (I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
          (II)設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點,PH⊥x軸,H為垂足,延長HP到點Q使得HP=PQ.連接AQ并延長交直線l于點M,N為MB的中點,判定直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•安徽模擬)如圖,已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          (a>b>0)的離心率為
          3
          2
          ,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點,B為橢圓的上頂點且△BF1F2的周長為4+2
          3

          (1)求橢圓的方程;
          (2)是否存在這樣的直線使得直線l與橢圓交于M,N兩點,且橢圓右焦點F2恰為△BMN的垂心?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明由..

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2011•崇明縣二模)如圖,已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          (a>b>0),M為橢圓上的一個動點,F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點,A、B分別為橢圓的一個長軸端點與短軸的端點.當(dāng)MF2⊥F1F2時,原點O到直線MF1的距離為
          1
          3
          |OF1|.
          (1)求a,b滿足的關(guān)系式;
          (2)當(dāng)點M在橢圓上變化時,求證:∠F1MF2的最大值為
          π
          2
          ;
          (3)設(shè)圓x2+y2=r2(0<r<b),G是圓上任意一點,過G作圓的切線交橢圓于Q1,Q2兩點,當(dāng)OQ1⊥OQ2時,求r的值.(用b表示)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          過點(1,
          2
          2
          )
          ,離心率為
          2
          2
          ,左、右焦點分別為F1、F2.點P為直線l:x+y=2上且不在x軸上的任意一點,直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D,O為坐標(biāo)原點.設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2
          (Ⅰ)證明:
          1
          k1
          -
          3
          k2
          =2

          (Ⅱ)問直線l上是否存在點P,使得直線OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD滿足kOA+kOB+kOC+kOD=0?若存在,求出所有滿足條件的點P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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          同步練習(xí)冊答案