Question

已知x、y滿足

y＞0 x+y+1＜0 3x+y+9＞0

記點（x，y）對應的平面區(qū)域為P．
（Ⅰ）設z=

y+1

x+3

，求z的取值范圍；
（Ⅱ）過點（-5，1）的一束光線，射到x軸被反射后經(jīng)過區(qū)域P，當反射光線所在直線l經(jīng)過區(qū)域P內(nèi)的整點（即橫縱坐標均是整數(shù)的點）時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）作出可行域，z的幾何意義為動動Q到定點P（-3，-1）的斜率．
（2）利用反射光線的性質(zhì)確定直線的斜率，然后求出直線的方程．

解答：解：平面區(qū)域如圖所示，易得A、B、C三點坐標分別為A（-4，3）、B（-3，0）、C（-1，0）．
（Ⅰ）由z=

y+1

x+3

知z的值即是定點P（-1，-3）與區(qū)域內(nèi)的點Q（x，y）連接的直線的斜率，
當直線過A（-4，3）時，z=-4；
當直線過C（-1，0）時，z=

1

2

．
故z的取值范圍是(-∞，-4)∪(

1

2

，+∞)．…（6分）
（Ⅱ）過點（-5，1）的光線被x軸反射后的光線所在直線必經(jīng)過點（-5，-1），由
題設可得區(qū)域內(nèi)坐標為整數(shù)點僅有點（-3，1），
故直線l的方程是

y-1

(-1)-1

=

(x+3)

(-5)+3

，即x-y+4=0．
…（12分）

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的簡單應用，利用z的幾何意義求最值是解決本題的關(guān)鍵．