Question

【題目】已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交拋物線于，兩點(diǎn)

（1）當(dāng)恰為的中點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；

（2）拋物線上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以弦為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）利用點(diǎn)差可求，從而得到直線的方程.

（2）設(shè)，設(shè)，，，聯(lián)立直線方程和拋物線方程后消元可得，利用及韋達(dá)定理可以得到恒成立，故求得.

（1）設(shè)，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，當(dāng)恰為的中點(diǎn)時(shí)，

顯然，故，又，故

則直線的方程為

（2）假設(shè)存在定點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，，聯(lián)立

整理得，，，，

由以弦為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)知，

即

即

故，即

整理得

即當(dāng)時(shí)，恒有，故存在定點(diǎn)滿足題意；

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，不妨令，，，也滿足

綜上所述，存在定點(diǎn)，使得以弦為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)