Question

【題目】已知橢圓，橢圓經(jīng)過(guò)橢圓C1的左焦點(diǎn)F 和上下頂點(diǎn)A，B.設(shè)斜率為k的直線l與橢圓C2相切，且與橢圓C1交于P，Q兩點(diǎn).

（1）求橢圓C2的方程；

（2）①若，求k的值；

②求PQ弦長(zhǎng)最大時(shí)k的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②.

【解析】

（1）分別求出C1的左焦點(diǎn)與上下頂點(diǎn)的坐標(biāo)，可得橢圓C2的的值，可得橢圓C2的方程；

（2）①設(shè)直線l的方程為與橢圓C2聯(lián)立，由直線與橢圓相切，可得，

可得的關(guān)系，同時(shí)直線l與橢圓C1的方程聯(lián)立，，，由韋達(dá)定理結(jié)合，即，代入可得k的值；

②由①知，可得關(guān)于的函數(shù)，化簡(jiǎn)利用基本不等式可得PQ弦長(zhǎng)最大時(shí)k的值.

解：（1）由題意可知，橢圓C1的左焦點(diǎn)，

上下頂點(diǎn)，，

所以橢圓C2的左頂點(diǎn)為，上下頂點(diǎn)，，

所以，，

所以橢圓C2的方程為.

（2）設(shè)直線l的方程為與橢圓C2：方程聯(lián)立，消去y得，

，

因?yàn)橹本�與橢圓相切，所以，

整理得，，

直線l與橢圓C1的方程聯(lián)立得，，

其中.

設(shè)，，

則.

①因?yàn)?/span>，所以，

即

，

所以.

②由①知

，

設(shè)，則.

所以當(dāng)時(shí)，PQ的長(zhǎng)最大，最大值為.