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        1. 已知數(shù)列{an},對于任意n≥2,在an-1與an之間插入n個(gè)數(shù),構(gòu)成的新數(shù)列{bn}成等差數(shù)列,并記在an-1與an之間插入的這n個(gè)數(shù)均值為Cn-1
          (1)若an=
          n2+3n-82
          ,求C1,C2,C3;
          (2)在(1)的條件下是否存在常數(shù)λ,使{Cn-1-λCn}是等差數(shù)列?如果存在,求出滿足條件的λ,如果不存在,請說明理由;
          (3)求出所有的滿足條件的數(shù)列{an}.
          分析:(1)由題意可得a1=-2,a2=1,a3=5,a4=10,由此求得C1,C2,C3 的值.
          (2)在an-1與an之間插入n個(gè)數(shù)構(gòu)成等差,d=
          an-an-1
          n+1
          =1,可得Cn-1 的值,再根據(jù)等差數(shù)列的定義求得滿足條件的λ.
          (3)由題意滿足條件的數(shù)列{an}應(yīng)滿足
          an-an-1
          n+1
          =
          an+1-an
          n+2
          ,即
          an+1-an
          an-an-1
          =
          n+2
          n+1
          ,用累乘法求得an+1-an=
          1
          3
          (a2-a1)•(n+2),再用累加法求得滿足條件的
          數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
          解答:解:(1)由題意可得a1=-2,a2=1,a3=5,a4=10,∴在a1與a2之間插入-1、0,C1=-
          1
          2
          ,…1′
          在a2與a3之間插入2、3、4,C2=3,…2′在a3與a4之間插入6、7、8、9,C3=
          15
          2
          .…3′
          (2)在an-1與an之間插入n個(gè)數(shù)構(gòu)成等差,d=
          an-an-1
          n+1
          =1,∴Cn-1 =
          an-1+an
          2
          =
          n2+2n-9
          2
          .…5′
          假設(shè)存在λ使得{Cn+1-λCn}是等差數(shù)列,
          ∵(Cn+1-λCn)-(Cn-λCn-1)=Cn+1-Cn-λ(Cn-Cn-1)=
          2n+5
          2
          -λ•
          2n+3
          2
          =(1-λ)n+
          5
          2
          -
          3
          2
          λ=常數(shù),
          ∴λ=1時(shí){Cn+1-λCn}是等差數(shù)列.…8′
          (3)由題意滿足條件的數(shù)列{an}應(yīng)滿足
          an-an-1
          n+1
          =
          an+1-an
          n+2
          ,…10′∴
          an+1-an
          an-an-1
          =
          n+2
          n+1

          an+1-an
          an-an-1
          an-an-1
          an-1-an-2
           …
          a4-a3
          a3-a2
          a3-a2
          a2-a1
          =
          n+2
          n+1
          n+1
          n
          5
          4
          4
          3
          =
          n+2
          3

          ∴an+1-an=
          1
          3
          (a2-a1)•(n+2),…12′
          ∴an-an-1=
          1
          3
          (a2-a1)•(n+1),

          a3-a2=
          1
          3
          (a2-a1)×4,
          a2-a1=
          1
          3
          (a2-a1)×3,
          ∴an-a1=
          1
          3
          (a2-a1)•
          (n-1)(3+n+1)
          2
          (n≥2)
          ∴an=
          1
          6
          (a2-a1)(n-1)(n+4)+a1(n≥2).…14′
          又∵n=1時(shí)也滿足條件,…15′
          ∴形如 an=a(n-1)(n+4)+b (a、b∈R) 的數(shù)列均滿足條.…16′
          點(diǎn)評:本題主要考查等差關(guān)系的確定,等差數(shù)列的定義和性質(zhì),等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,數(shù)列的函數(shù)特性,用累乘法和累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式,屬于中檔題.
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          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}滿足對任意的n∈N*,都有an>0,且a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an2
          (1)求a1,a2的值;
          (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an
          (3)設(shè)數(shù)列{
          1
          anan+2
          }
          的前n項(xiàng)和為Sn,不等式Sn
          1
          3
          loga(1-a)
          對任意的正整數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an},對任意的n∈N*,點(diǎn)Pn(n,an)都在直線y=2x+1上,則{an}為( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an},對任意的p,q∈N*滿足ap+q=ap•aq,且a1=-1,那么a9等于
          -1
          -1

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an},“對任意的n∈N*,點(diǎn)Pn(n,an)都在直線y=3x+2上”是“{an}為等差數(shù)列”的(  )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}滿足對任意的n∈N*,都有an>0,且a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an)  2
          (1)求a1,a2的值;
          (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
          (3)求數(shù)列{
          1anan+2
          }
          的前n項(xiàng)和為Sn

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