Question

A、B、C是球面上三點(diǎn)，已知弦（連接球面上兩點(diǎn)的線段）AB=18cm，BC=24cm，AC=30cm，平面ABC與球心的距離恰好為球半徑的一半，求球的表面積和體積．

Answer 1

分析：根據(jù)題意得三角形ABC是直角三角形，AC是斜邊，中點(diǎn)為O′，OA=OB=OC是半徑，求出OO′，利用平面ABC與球心的距離恰好為球半徑的一半，求出半徑，即可求出球O的表面積和體積．

解答：解：球面上三點(diǎn)A、B、C，平面ABC與球面交于一個圓，三點(diǎn)A、B、C在這個圓上
∵AB=18，BC=24，AC=30，
∴AC²=AB²+BC²，∴AC為這個圓的直徑，AC中點(diǎn)O′圓心
球心O到平面ABC的距離即OO′=球半徑的一半=

1

2

R
△OO′A中，∠OO′A=90°，OO′=

1

2

R，AO′=

1

2

AC=30×

1

2

=15，OA=R
由勾股定理（

1

2

R）²+15²=R²，

3

4

R²=225
解得R=10

3

．
球的表面積S=4πR²=1200π（cm²）；
和體積V=

4

3

πR3=

4

3

×π× (10

3

)3=4000

3

π（cm³）．

點(diǎn)評：本題考查球的體積和表面積、空間想象能力，計算能力，確定三角形ABC的形狀以及利用平面ABC與球心的距離恰好為球半徑的一半，是解好本題是前提．是基礎(chǔ)題，