Question

（2012•資陽二模）已知函數f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定義在R上的奇函數，且x=-1時，函數f（x）取極值1．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）令g（x）=-mx+

5

2

m，若x₁，x₂∈[0．m]（m＞0），不等式f（x₁）-g（x₂）≤0恒成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）曲線y=f（x）上是否存在兩個不同的點A、B，使過A、B兩點的切線都垂直于直線AB？若存在，求出A、B的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求f（x）的解析式，只需找到關于a，b，c的三個等式，求出a，b，c的值，根據函數的奇偶性可得到一個含等式，根據x=-1時，取得極值1，可知函數在x=-1時，導數等于0，且x=-1時，函數值等于1，又可得到兩個含a，b，c的等式，三個等式聯(lián)立，解出a，b，c即可；
（Ⅱ）不等式f（x₁）-g（x₂）≤0恒成立，只需f（x）_max-g（x）_min≤0即可；
（Ⅲ）先假設存在兩個不同的點A、B，使過A、B的切線都垂直于AB，則切線斜率與AB斜率互為負倒數，又因為函數在A，B點處的切線斜率時函數在該點處的導數，就可得到含A，B點的坐標的方程，解方程，若方程有解，則假設成立，若方程無解，則假設不成立．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定義R上的奇函數
∴f（-x）=-f（x）恒成立，即bx²=0對于x∈R恒成立，
∴b=0
∴f（x）=ax³+cx，∴f′（x）=3ax²+c
∵x=-1時，函數f（x）取極值1．
∴f′（-1）=0且f（-1）=1．
∴

3a+c=0 -a-c=1

，
∴a=

1

2

，c=-

3

2

．
∴f(x)=

1

2

x3-

3

2

x
（Ⅱ）不等式f（x₁）-g（x₂）≤0恒成立，只需f（x）_max-g（x）_min≤0即可．
∵函數g（x）在[0，m]上單調遞減，∴g（x）_min=g（m）=-m²+

5

2

m
又f(x)=

1

2

x3-

3

2

x，f′(x)=

3

2

x2-

3

2

=

3

2

(x-1)(x+1)，
由f′（x）＞0得x＜-1或x＞1；f′（x）＜0得-1＜x＜1，
故函數f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上單調遞增，在（-1，1）上單調遞減，
則當x=1時，f（x）取得極小值，
在（0，+∞）上，當f(x)=

1

2

x3-

3

2

x=f（0）時，x=

3

，
①當0＜m≤

3

時，f（x）_max=f（0）=0，
則f（x）_max-g（x）_min=0-（-m²+

5

2

m）=m²-

5

2

m≤0，
解得0≤m≤

5

2

，故此時0＜m≤

3

②當m＞

3

時，f（x）_max=f（m）=

1

2

m3-

3

2

m，
則f（x）_max-g（x）_min=

1

2

m3-

3

2

m-（-m²+

5

2

m）=

1

2

m3+m2-4m≤0，
解得-4≤m≤2，故此時

3

＜m≤2．
綜上所述，實數m的取值范圍是（0，2]；
（Ⅲ）假定存在A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
∵f′(x)=

3

2

x2-

3

2

，過A、B兩點的切線平行，∴f′（x₁）=f′（x₂），得x12=x22
∵x₁≠x₂，∴x₂=-x₁，則y₂=-y₁，且知x₁≠0，
∴kAB=

y2-y1

x2-x1

=

y1

x1

=

1

2

x12-

3

2

，
由于過A點的切線垂直于直線AB，∴（

3

2

x12-

3

2

）（

1

2

x12-

3

2

）=-1
∴3x14-12x12+13=0，則△=-12＜0，∴關于x₁的方程無解．
故曲線上不存在兩個不同的點A、B，使過A、B兩點的切線都垂直于直線AB．

點評：本題考查函數的解析式，考查函數導數與函數切線斜率之間的關系，考查恒成立問題，屬于中檔題．