Question

【題目】已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，離心率，且橢圓過點(diǎn).

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)橢圓左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，則的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）；（2），.

【解析】

試題（Ⅰ）設(shè)橢圓方程，由題意列關(guān)于的方程組求解的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）設(shè)，不妨設(shè)，設(shè)的內(nèi)切圓的徑，則的周長為，，因此最大，就最大．設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，從而可表示的面積，利用換元法，借助于導(dǎo)數(shù)，即可求得結(jié)論．

試題解析：解：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓方程為．則，解得：．∴橢圓方程為，

（Ⅱ）設(shè)，不妨，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑，

則的周長為，因此最大，

就最大，

由題知，直線的斜率不為零，可設(shè)直線的方程為，

由得，得

則，

令，則，∴，

令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，有，

即當(dāng)時(shí)，，，∴，這時(shí)所求內(nèi)切圓面積的最大值為．

故直線內(nèi)切圓面積的最大值為