Question

【題目】（1）在復數(shù)范圍內解方程（為虛數(shù)單位）

（2）設是虛數(shù)，是實數(shù)，且

（i）求的值及的實部的取值范圍；

（ii）設，求證：為純虛數(shù)；

（iii）在（ii）的條件下求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）；（ii）證明見解析；（iii）

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法，結合復數(shù)相等構造方程組來進行求解；（2）（i）采用待定系數(shù)法，根據(jù)實數(shù)的定義構造方程即可解得和，利用的范圍求得的范圍；（ii）利用復數(shù)的運算進行整理，根據(jù)純虛數(shù)的定義證得結論；（iii）將整理為，，利用基本不等式求得最小值.

（1）

設，則

，解得：

（2）（i）設且

為實數(shù) ，整理可得：

即

（ii）

由（i）知：，則

且

是純虛數(shù)

（iii）

令，則，

（當且僅當時取等號）

即的最小值為：