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        1. (2013•江西)如圖,橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          經過點P (1,
          3
          2
          ),離心率e=
          1
          2
          ,直線l的方程為x=4.
          (1)求橢圓C的方程;
          (2)AB是經過右焦點F的任一弦(不經過點P),設直線AB與直線l相交于點M,記PA,PB,PM的斜率分別為k1,k2,k3.問:是否存在常數(shù)λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求λ的值;若不存在,說明理由.
          分析:(1)由題意將點P (1,
          3
          2
          )代入橢圓的方程,得到
          1
          a2
          +
          3
          4b2
          =1(a>b>0)
          ,再由離心率為e=
          1
          2
          ,將a,b用c表示出來代入方程,解得c,從而解得a,b,即可得到橢圓的標準方程;
          (2)方法一:可先設出直線AB的方程為y=k(x-1),代入橢圓的方程并整理成關于x的一元二次方程,設A(x1,y1),B(x2,y2),利用根與系數(shù)的關系求得x1+x2=
          8k2
          4k2+3
          x1x2=
          4k2-12
          4k2+3
          ,再求點M的坐標,分別表示出k1,k2,k3.比較k1+k2=λk3即可求得參數(shù)的值;
          方法二:設B(x0,y0)(x0≠1),以之表示出直線FB的方程為y=
          y0
          x0-1
          (x-1)
          ,由此方程求得M的坐標,再與橢圓方程聯(lián)立,求得A的坐標,由此表示出k1,k2,k3.比較k1+k2=λk3即可求得參數(shù)的值
          解答:解:(1)橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          經過點P (1,
          3
          2
          ),可得
          1
          a2
          +
          9
          4b2
          =1(a>b>0)
            ①
          由離心率e=
          1
          2
          c
          a
          =
          1
          2
          ,即a=2c,則b2=3c2②,代入①解得c=1,a=2,b=
          3

          故橢圓的方程為
          x2
          4
          +
          y2
          3
          =1

          (2)方法一:由題意可設AB的斜率為k,則直線AB的方程為y=k(x-1)③
          代入橢圓方程
          x2
          4
          +
          y2
          3
          =1
          并整理得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0
          設A(x1,y1),B(x2,y2),
          x1+x2=
          8k2
          4k2+3
          ,x1x2=
          4k2-12
          4k2+3
              ④
          在方程③中,令x=4得,M的坐標為(4,3k),
          從而k1=
          y1-
          3
          2
          x1-1
          ,k2=
          y2-
          3
          2
          x2-1
          k3=
          3k-
          3
          2
          4-1
          =k-
          1
          2

          注意到A,F(xiàn),B共線,則有k=kAF=kBF,即有
          y1
          x1-1
          =
          y2
          x2-1
          =k
          所以k1+k2=
          y1-
          3
          2
          x1-1
          +
          y2-
          3
          2
          x2-1
          =
          y1
          x1-1
          +
          y2
          x2-1
          -
          3
          2
          1
          x1-1
          +
          1
          x2-1

          =2k-
          3
          2
          ×
          x1+x2-2
          x1x2-(x1+x2)+1
              ⑤
          ④代入⑤得k1+k2=2k-
          3
          2
          ×
          8k2
          4k2+3
          -2
          4k2-12
          4k2+3
          -
          8k2
          4k2+3
          +1
          =2k-1
          又k3=k-
          1
          2
          ,所以k1+k2=2k3
          故存在常數(shù)λ=2符合題意
          方法二:設B(x0,y0)(x0≠1),則直線FB的方程為y=
          y0
          x0-1
          (x-1)

          令x=4,求得M(4,
          3y0
          x0-1

          從而直線PM的斜率為k3=
          2y0-x0+1
          2(x0-1)

          聯(lián)立
          x2
          4
          +
          y2
          3
          =1
          y=
          y0
          x0-1
          (x-1)
          ,得A(
          5x0-8
          2x0-5
          3x0
          2x0-5
          ),
          則直線PA的斜率k1=
          2y0-2x0+5
          2(x0-1)
          ,直線PB的斜率為k2=
          2y0-3
          2(x0-1)

          所以k1+k2=
          2y0-2x0+5
          2(x0-1)
          +
          2y0-3
          2(x0-1)
          =2×
          2y0-x0+1
          2(x0-1)
          =2k3
          故存在常數(shù)λ=2符合題意
          點評:本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題,考查了分析轉化的能力與探究的能力,考查了方程的思想,數(shù)形結合的思想,本題綜合性較強,運算量大,極易出錯,解答時要嚴謹運算,嚴密推理,方能碸解答出.
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          (2)求點B1到平面EA1C1 的距離.

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          32
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