Question

（2013•江西）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為BD的中點，G為PD的中點，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=

3

2

，連接CE并延長交AD于F
（1）求證：AD⊥平面CFG；
（2）求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用直角三角形的判定得到∠BAD=

π

2

，且∠ABE=∠AEB=

π

3

．由△DAB≌△DCB得到△EAB≌△ECB，從而得到∠FED=∠FEA=

π

3

，所以EF⊥AD且AF=FD，結合題意得到FG是△PAD是的中位線，可得FG∥PA，根據PA⊥平面ABCD得FG⊥平面ABCD，得到FG⊥AD，最后根據線面垂直的判定定理證出AD⊥平面CFG；
（2）以點A為原點，AB、AD、PA分別為x軸、y軸、z軸建立如圖直角坐標系，得到A、B、C、D、P的坐標，從而得到

BC

、

CP

、

CD

的坐標，利用垂直向量數量積為零的方法建立方程組，解出

m

=（1，-

3

3

，

2

3

）和

n

=（1，

3

，2）分別為平面BCP、平面DCP的法向量，利用空間向量的夾角公式算出

m

、

n

夾角的余弦，即可得到平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值．

解答：解：（1）∵在△DAB中，E為BD的中點，EA=EB=AB=1，
∴AE=

1

2

BD，可得∠BAD=

π

2

，且∠ABE=∠AEB=

π

3

∵△DAB≌△DCB，∴△EAB≌△ECB，從而得到∠FED=∠BEC=∠AEB=

π

3

∴∠FED=∠FEA=

π

3

，可得EF⊥AD，AF=FD
又∵△PAD中，PG=GD，∴FG是△PAD是的中位線，可得FG∥PA
∵PA⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，
∵AD?平面ABCD，∴FG⊥AD
又∵EF、FG是平面CFG內的相交直線，∴AD⊥平面CFG；
（2）以點A為原點，AB、AD、PA分別為x軸、y軸、z軸建立如圖直角坐標系，可得
A（0，0，0），B（1，0，0），C（

3

2

，

3

2

，0），D（0，

3

，0），P（0，0，

3

2

）
∴

BC

=（

1

2

，

3

2

，0），

CP

=（-

3

2

，-

3

2

，

3

2

），

CD

=（-

3

2

，

3

2

，0）
設平面BCP的法向量

m

=（1，y₁，z₁），則

m • BC = 1 2 + 3 2 y1=0 m • CP =- 3 2 - 3 2 y1+ 3 2 z1=0

解得y₁=-

3

3

，z₁=

2

3

，可得

m

=（1，-

3

3

，

2

3

），
設平面DCP的法向量

n

=（1，y₂，z₂），則

n • CD =- 3 2 + 3 2 y2=0 n • CP =- 3 2 - 3 2 y2+ 3 2 z2=0

解得y₂=

3

，z₂=2，可得

n

=（1，

3

，2），
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1×1+(- 3 3 )× 3 + 2 3 ×2

1+ 1 3 + 4 9 • 1+3+4

=

2

4

因此平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值等于|cos＜

m

，

n

＞|=

2

4

．

點評：本題在三棱錐中求證線面垂直，并求平面與平面所成角的余弦值．著重考查了空間線面垂直的判定與性質，考查了利用空間向量研究平面與平面所成角等知識，屬于中檔題．