Question

已知函數(shù)定義域?yàn)?img width=44 height=23 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/2011/12/07/09/2011120709463869547878.files/image085.gif' >(),設(shè).

（1）試確定的取值范圍,使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)；

（2）求證:；

（3）求證:對(duì)于任意的,總存在,滿足,并確定這樣的

 的個(gè)數(shù)

Answer 1

解: (Ⅰ)因?yàn)?img width=321 height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/2011/12/07/09/2011120709463869547878.files/image183.gif' >………………2分

由；由,所以在上遞增,在上遞減 ,欲在上為單調(diào)函數(shù),則       …………4分

(Ⅱ)證明:因?yàn)?img width=36 height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/2011/12/07/09/2011120709463869547878.files/image059.gif' >在上遞增,在上遞減,所以在處取得極小值                                            ……………………………6分

 又,所以在上的最小值為

 從而當(dāng)時(shí),,即  ……………………………………………9分

（Ⅲ）證:因?yàn)?img width=109 height=44 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/2011/12/07/09/2011120709463869547878.files/image196.gif' >,     即為,

   令,從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程=0

在上有解,并討論解的個(gè)數(shù)            …………………………………………11分

 因,,

所以 ①當(dāng)時(shí),,

所以在上有解,且只有一解          ………………………………13分

②當(dāng)時(shí),,但由于,

所以在上有解,且有兩解       ………………………………………14分

③當(dāng)時(shí),,所以在上有僅有一解；

當(dāng)時(shí),,

所以在上也有且只有一解           ………………………………15分

綜上所述, 對(duì)于任意的,總存在,滿足,

且當(dāng)時(shí),有唯一的適合題意；

當(dāng)時(shí),有兩個(gè)適合題意                     …………………………16分