Question

已知|

a

|=1，|

b

|=2，

a

與

b

的夾角為60°．
（1）求

a

+

b

與

a

的夾角的余弦值；
（2）當(dāng)|

a

+t

b

|取得最小值時(shí)，試判斷

a

+t

b

與

b

的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)

a

+

b

與

a

的夾角為θ，根據(jù)向量的數(shù)量積的定義先求

a

• 

b

，根據(jù)向量的數(shù)量積的性質(zhì)求|

a

+

b

|，代入向量的夾角公式可求cosθ
（2）令根據(jù)向量的數(shù)量積的性質(zhì)可得|

a

+t

b

|=

( a +t b )2

，整理可得關(guān)于t的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求

解答：解：（1）設(shè)

a

+

b

與

a

的夾角為θ，于是

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cos60°=1，|

a

+

b

|=

( a + b )2

=

a 2+2 a • b + b 2

=

7

，于是cosθ=

( a + b )• a

| a + b |•| a |

=

2

7

=

2 7

7

．
（2）令|

a

+t

b

|=

4t2+2t+1

=

4(t+ 1 4 )2+ 3 4

，
當(dāng)且僅當(dāng)t=-

1

4

時(shí)，取得最小值，此時(shí)(

a

+t

b

)•

b

=

a

•

b

+4t=0，
所以(

a

+t

b

)⊥

b

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了屏幕向量的基本運(yùn)算，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用向量數(shù)量積的性質(zhì)：|

a

|=

a 2

，還有主要二次函數(shù)的性質(zhì)在求解最值中的應(yīng)用．