Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的正方形，PA⊥底面ABCD，E為AB的中點，且PA=AB．
（1）求證：平面PCE⊥平面PCD；
（2）求點D到平面PCE的距離．

Answer 1

分析：（1）欲證平面PCE⊥平面PCD，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面PCE內(nèi)一直線與平面PCD垂直，取PD的中點F，取PC的中點G，連接EG、FG，EG⊥平面PCD，EG在平面PCE內(nèi)，滿足定理所需條件；
（2）在平面PCD內(nèi)，過點D作DH⊥PC于點H，則DH為點D到平面PCE的距離，在Rt△PAD中，求出PD，在Rt△PCD中，求出CD和PC，從而求出DH．

解答：（1）證明：取PD的中點F，則AF⊥PD．
∵CD⊥平面PAD，∴AF⊥CD．
∴AF⊥平面PCD．
取PC的中點G，連接EG、FG，可證AFGE為平行四邊形．
∴AF∥EG．∴EG⊥平面PCD．
∵EG在平面PCE內(nèi)，
∴平面PCE⊥平面PCD．
（2）解：在平面PCD內(nèi)，過點D作DH⊥PC于點H．
∵平面PCE⊥平面PCD，∴DH⊥平面PCE，即DH為點D到平面PCE的距離．
在Rt△PAD中，PA=AD=a，PD=

2

a．
在Rt△PCD中，PD=

2

a，CD=a，PC=

3

a，
∴DH=

PD•DC

PC

=

6

3

a．

點評：本題主要考查了平面與平面垂直的判定，以及點到面的距離的計算，考查空間想象能力、運算求解能力、推理論證能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．