Question

如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2，AD=1，O為AB上的動(dòng)點(diǎn)，P是線段DO的中點(diǎn)，則(

AO

+

AD

)•

AB

的最大值是

4

．

Answer 1

分析：根據(jù)條件首先設(shè)出AO：OB=x，用向量

AB

和

AD

作為基底，把數(shù)量積表示為關(guān)于

AB

和

AD

的積，進(jìn)而表示為含x的形式，化簡(jiǎn)可得(

AO

+

AD

)•

AB

=

4

1+x

，根據(jù)x的取值范圍可以求出最大值．

解答：解：由題意，設(shè)AO：OB=x，（x≥0）
則

AO

=

1

1+x

AB

，故(

AO

+

AD

)=2

AP

=

1

(1+x)

AB

+

AD

∴(

AO

+

AD

)•

AB

=

1

1+x

|

AB

|  2+

AB

•

AD

∵AB⊥AD⇒

AB

•

AD

=0
∴(

AO

+

AD

)•

AB

=

4

1+x

故當(dāng)x=0時(shí)，(

AO

+

AD

)•

AB

的最大值是4
故答案為4

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用向量的運(yùn)算法則將未知向量用已知的向量表示；將未知向量的數(shù)量積用已知向量的數(shù)量積表示，從而找到欲求的最大值．