Question

如圖，在長方形ABCD中，AB=

3

，BC=1，E為線段DC上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將△AED沿AE折起，使點(diǎn)D在面ABC上的射影K在直線AE上，當(dāng)E從D運(yùn)動(dòng)到C，則K所形成軌跡的長度為

π

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)圖形的翻折過程中變與不變的量和位置關(guān)系知，若連接D'K，則D'KA=90°，得到K點(diǎn)的軌跡是以AD'為直徑的圓上一弧，根據(jù)長方形的邊長得到圓的半徑，求得此弧所對的圓心角的弧度數(shù)，利用弧長公式求出軌跡長度．

解答：解：由題意，將△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED內(nèi)過點(diǎn)D作DK⊥AE，K為垂足，由翻折的特征知，連接D'K，
則D'KA=90°，故K點(diǎn)的軌跡是以AD'為直徑的圓上一弧，根據(jù)長方形知圓半徑是

1

2

，
如圖當(dāng)E與C重合時(shí)，AK=

1×1

4

=

1

2

，
取O為AD′的中點(diǎn)，得到△OAK是正三角形．
故∠K0A=

π

3

，∴∠K0D'=

2π

3

，
其所對的弧長為

1

2

×

2π

3

=

π

3

，
故答案為：

π

3

點(diǎn)評：本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題目，解題的關(guān)鍵是由題意得出點(diǎn)K的軌跡是圓上的一段弧，翻折問題中要注意位置關(guān)系與長度等數(shù)量的變與不變．本題是一個(gè)中檔題目．