Question

如圖，在長方形ABCD中，AB=4，BC=2．現(xiàn)將△ACD沿AC折起，使平面ABD⊥平面ABC，設(shè)E為AB中點(diǎn)，則異面直線AC和DE所成角的余弦值為

5

5

．

Answer 1

分析：由△ABD⊥平面ABC，CB⊥AB，知∠ADB=∠CBD=90°，過E點(diǎn)作EF∥AC，連接DE和DF，則∠DEF就是異面直線AC和DE所成角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出異面直線AC和DE所成角的余弦值．

解答：解：∵△ABD⊥平面ABC，CB⊥AB，
∴CB⊥BD，∴△ABD≌△CBD，
∴∠ADB=∠CBD=90°，
過E點(diǎn)作EF∥AC，連接DE和DF，
∵在長方形ABCD中，AB=4，BC=2，∴AC=2

5

，BD=2

3

，
∴EF=

1

2

AC=

5

，DE=

1

2

AB=2，DF=

13

，
在△DEF中，DE=2，EF=

5

，DF=

13

，
根據(jù)余弦定理，得：cos∠DEF=

4+5-13

2×2× 5

=-

5

5

，
∴異面直線AC和DE所成角的余弦值為

5

5

．
故答案為：

5

5

．

點(diǎn)評：本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．