已知函數(shù)
，
，(其中
)，設(shè)
.
（Ⅰ）當(dāng)
時,試將
表示成
的函數(shù)
,并探究函數(shù)是否有極值；
（Ⅱ）當(dāng)
時，若存在
，使
成立，試求
的范圍.
（Ⅰ）當(dāng)
時
在定義域內(nèi)有且僅有一個極值，當(dāng)
時在定義域內(nèi)無極值;
（Ⅱ）
或
【解析】
試題分析：（Ⅰ）觀察
與
的特點
，可得
，
，
，即可得到函數(shù)
，觀察此函數(shù)特征可想到對其求導(dǎo)得
，由二次函數(shù)的圖象不難得出
在
上有解的條件
，進(jìn)而求出
的范圍; （Ⅱ）由
可得
，又由
可得
，故可令函數(shù)
的最大值為正，對函數(shù)求導(dǎo)令其為0得
求出
，由與
，和
與的大小關(guān)系對進(jìn)行分類討論，并求出各自情況的最大值，由最大值大于零即可求出的范圍．
試題解析：（Ⅰ）∵
,
,
∴ ∴ (3分)
設(shè)
是的兩根，則
，∴在定義域內(nèi)至多有一解,
欲使在定義域內(nèi)有極值，只需
在內(nèi)有解，且
的值在根的左右兩側(cè)異號，∴得
(6分)
綜上：當(dāng)時在定義域內(nèi)有且僅有一個極值，當(dāng)時在定義域內(nèi)無極值．
（Ⅱ）∵存在，使成立等價于
的最大值大于0，
∵
，∴,
∴得.
當(dāng)
時，
得；
當(dāng)
時，
得
(12分)
當(dāng)
時，
不成立
(13分)
當(dāng)
時，得
；
當(dāng)
時，
得；
綜上得：或 (16分)
考點：1.代數(shù)式的化簡;2.函數(shù)的極值;3.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的運用
數(shù)學(xué)奧賽暑假天天練南京大學(xué)出版社系列答案
南大教輔搶先起跑暑假銜接教程南京大學(xué)出版社系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
·
,其中
=(sinωx+cosωx,
cosωx), 
=(cosωx-sinωx,2sinωx)(ω＞0).若f(x)相鄰兩對稱軸間的距離不小于
.(1)求ω的取值范圍；
(2)在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，a=
,b+c=3(b＞c)，當(dāng)ω最大時，f(A)=1,求邊b,c的長.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年浙江省五校聯(lián)盟高三下學(xué)期第一次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題
已知
,函數(shù)
，
，(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)),
（1）當(dāng)
時，求
的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）是否存在實數(shù)
，使得的最小值為3. 若存在，求出的值，若不存在，說明理由。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年廣東省等三校高三2月月考數(shù)學(xué)文卷 題型：解答題
（本小題滿分14分）
已知函數(shù)
，
.（其中
為自然對數(shù)的底數(shù)），
（Ⅰ）設(shè)曲線
在
處的切線與直線
垂直，求
的值；
（Ⅱ）若對于任意實數(shù)
≥0，
恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)
時，是否存在實數(shù)
，使曲線C：
在點
處的切線與
軸垂直？若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年天津市高三十校聯(lián)考理科數(shù)學(xué) 題型：解答題
．（14分）已知函數(shù)
，
，其中
（Ⅰ）若
是函數(shù)
的極值點，求實數(shù)
的值
（Ⅱ）若對任意的
（
為自然對數(shù)的底數(shù)）都有
≥
成立，求實數(shù)的取值范圍
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆云南省高一期末考試數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題
已知函數(shù)
，
（其中
）的周期為π，且圖象上一個最低點為
。
(1)求
的解析式；
(2)當(dāng)
時，求的最值
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