Question

（2010•宿松縣三模）已知二項式(2x-

2

2

)9(x∈R，x≠0)的展開式的第7項為

21

4

，則

lim

n→∞

(x+x2+x3+…+xn)的值為

-

1

4

．

Answer 1

分析：通過展開式的第7項為

21

4

，求出x的值，利用等比數(shù)列求出x+x²+x³+…+xⁿ的和，然后求出極限即可．

解答：解：因為二項式(2x-

2

2

)9(x∈R，x≠0)的展開式的第7項為

21

4

，
所以

C

6 9

(2X)3(-

2

2

)6=

21

4

，即23X=

1

2

，x=-

1

3

，
x+x²+x³+…+xⁿ=

x(1-xn)

1-x

=

- 1 3 (1-(- 1 3 )n)

1+ 1 3

=-

1

4

+

1

4

(-

1

3

)n，
∴

lim

n→∞

(x+x2+x3+…+xn)=

lim

n→∞

[-

1

4

+

1

4

(-

1

3

)n]=-

1

4

+

lim

n→∞

[

1

4

(-

1

3

)n]=-

1

4

．
故答案為：-

1

4

．

點評：本題是中檔題，考查二項式定理系數(shù)的性質(zhì)，數(shù)列的極限的求法，考查計算能力．