Question

（2010•宿松縣三模）已知函數(shù)f（x）=log_a+2[ax²+（a+2）x+a+2]有最值，則a的取值范圍是（　�。�

• A．(-2，-1)∪(-1，0)∪(

  2

  3

  ，+∞)
• B．(-2，0)∪(

  2

  3

  ，+∞)
• C．(-2，

  2

  3

  )∪(

  2

  3

  ，2)∪(2，+∞)
• D．（-2，+∞）

Answer 1

分析：令u（x）=ax²+（a+2）x+a+2，轉(zhuǎn)化為u（x）在定義域上能取得最值，結(jié)合二次函數(shù)圖象與性質(zhì)求解．

解答：解：由已知，須a+2＞0，且a+2≠1．即a＞-2，且a≠-1．
令u（x）=ax²+（a+2）x+a+2，原函數(shù)的定義域由u（x）＞0求得．
①當(dāng)a＞0時(shí)，u（x）=ax²+（a+2）x+a+2的圖象為開口向上的拋物線，
若f（x）有最值，則u（x）圖象與x軸不相交，即須△=（a+2）²-4a（a+2）=-3a²-4a+4＜0，
解得a＞

2

3

或＜-2，
∴a＞

2

3

②當(dāng)a=0時(shí)，u（x）=ax²+（a+2）x+a+2=2x+2，原函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），在（1，+∞）上u（x）不存在最值．從而f（x）無最值．
③當(dāng)-2＜a＜0，且a≠-1時(shí)，u（x）=ax²+（a+2）x+a+2的圖象為開口向下的拋物線，若f（x）有最值，則須u（x）圖象與x軸交于不同兩點(diǎn)．即須△=（a+2）²-4a（a+2）=-3a²-4a+4＞0，解得-2＜a＜

2

3

，∴-2＜a＜0，且a≠-1．
綜上所述a的取值范圍是a＞

2

3

，或-2＜a＜0且a≠-1．
故選A

點(diǎn)評：本題考查復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化、計(jì)算、數(shù)形結(jié)合的思想和能力．