Question

已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程.
(2)過(guò)點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線(xiàn)l₁,l₂,設(shè)l₁與軌跡C相交于點(diǎn)A,B,l₂與軌跡C相交于點(diǎn)D,E,求·的最小值.

Answer 1

(1) y²=4x(x≥0)和y=0(x<0)   (2) 16

(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),由題意得-|x|=1.化簡(jiǎn)得y²=2x+2|x|,
當(dāng)x≥0時(shí),y²=4x;當(dāng)x<0時(shí),y=0.
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為
y²=4x(x≥0)和y=0(x<0).
(2)由題意知,直線(xiàn)l₁的斜率存在且不為0,設(shè)為k,則l₁的方程為y=k(x-1).
由得k²x²-(2k²+4)x+k²=0.
設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則x₁,x₂是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,于是x₁+x₂=2+,x₁x₂=1.
因?yàn)閘₁⊥l₂,所以l₂的斜率為-.
設(shè)D(x₃,y₃),E(x₄, y₄),
則同理可得x₃+x₄=2+4k²,x₃x₄=1.
·=(+)·(+)
=·+·+·+·
=·+·=||·||+||·||
=(x₁+1)(x₂+1)+(x₃+1)(x₄+1)
=x₁x₂+(x₁+x₂)+1+x₃x₄+(x₃+x₄)+1
=1+(2+)+1+1+(2+4k²)+1
=8+4(k²+)≥8+4×2=16.
故當(dāng)且僅當(dāng)k²=,即k=±1時(shí),·取最小值16.