Question

雙曲線（a＞0，b＞0）的左右焦點為F₁，F(xiàn)₂，其上一點P，若∠F₁PF₂=θ，
（1）證明：三角形；
（2）若雙曲線的離心率為2，斜率為1的直線與雙曲線交于B、D兩點，BD的中點M（1，3），雙曲線的右頂點為A，右焦點為F，若過A、B、D三點的圓與x軸相切，請求解雙曲線方程和的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，由余弦定理得（2c）²=m²+n²-2mncosθ=4a²+2mn（1-cosθ），所以=，再由正弦定理能證明=．
（2）因為雙曲線的離心率為2，所以雙曲線方程為：3x²-y²=3a²，由題設(shè)知l的方程為：y=x+2，A（a，0），F(xiàn)（2a，0），聯(lián)立方程得2x²-4x-4-3a²=0，x₁+x₂=2，，由此入手能夠求出的值．
解答：（1）證明：設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，由余弦定理得
（2c）²=m²+n²-2mncosθ
=（m-n）²+2mn-2mncosθ
=4a²+2mn（1-cosθ），
∴=，
由正弦定理===．…（5分）
（2）解：因為雙曲線的離心率為2，
所以雙曲線方程為：3x²-y²=3a²，
由題設(shè)知l的方程為：y=x+2，A（a，0），F(xiàn)（2a，0），
聯(lián)立方程得2x²-4x-4-3a²=0，
x₁+x₂=2，，
若過A、B、D三點的圓與x軸相切，
則=2=2MA，
∴6+3a²=（a-1）²+9，
∴a=1，
∴雙曲線方程為．…（8分）
故不妨設(shè)x₁≤-a，x₂≥a，
則|BF|===a-2x₁，
|FD|===2x₂-a，
∴|BF|•|FD|=（a-2x₁）（2x₂-a）
=-4x₁x₂+2a（x₁+x₂）-a²
=5a²+4a+8
=17，
∴=17．…（12分）
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意正弦定理和余弦定理的合理運用．