Question

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).

（1）當(dāng)的傾斜角為時(shí)，求直線的方程；

（2）試探究在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；定點(diǎn)

【解析】

（1）由題得，解得，由，得，可得橢圓方程,與直線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線的方程；（2）直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合平面向量數(shù)量積公式可得在x軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，再驗(yàn)證直線的斜率為0的情況即可.

（1）由題得，解得，由，得，故橢圓方程為，

設(shè)，易知直線的方程為，由，得，

于是，

從而，故，

所以直線的方程為.

（2）①當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)，直線的方程為，

由，得，所以

所以

，

由，得，故此時(shí)點(diǎn)，；

②當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，.

綜上，在x軸上存在定點(diǎn)，使得為定值.