【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為
,
,離心率是
,P為橢圓上的動點(diǎn).當(dāng)
取最大值時(shí),
的面積是
(1)求橢圓的方程:
(2)若動直線l與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),且恒有,是否存在一個(gè)以原點(diǎn)O為圓心的定圓C,使得動直線l始終與定圓C相切?若存在,求圓C的方程,若不存在,請說明理由
【答案】(1);(2)存在,
【解析】
(1)根據(jù)余弦定理和基本不等式確定點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí),取最大值,再根據(jù)三角形面積及
,求得
,
,
,即可得到答案;
(2)對直線的斜率分存在和不存在兩種情況討論,當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為
,
,
,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及韋達(dá)定理可得
,即可得到答案;
(1)依題意可得,
設(shè),由余弦定理可知:
,
所以,
當(dāng)且僅當(dāng)(即P為橢圓短軸端點(diǎn))時(shí)等號成立,且
取最大值;
此時(shí)的面積是
,
同時(shí),聯(lián)立
和
解得,
,
,
所以橢圓方程為.
(2)當(dāng)直線l斜率不存在時(shí),直線l的方程為,
所以,
,此時(shí)
,
當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線
的方程為
,
,
,
原點(diǎn)O到直線1的距離為d,所以,
整理得,
由,可得
,
,
,
,
,恒成立,
即恒成立 ,
所以,所以
,
所以定圓C的方程是
所以當(dāng)時(shí) , 存在定圓C始終與直線l相切 ,
其方程是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)
(
),若
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)討論函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)
的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在
處取得極大值,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)批量生產(chǎn)了一種汽車配件,總數(shù)為,配件包裝上標(biāo)有從1到
的連續(xù)自然數(shù)序號,為對配件總數(shù)
進(jìn)行估計(jì),質(zhì)檢員隨機(jī)抽取了
個(gè)配件,序號從小到大依次為
,
,…,
,這
個(gè)序號相當(dāng)于從區(qū)間
上隨機(jī)抽取了
個(gè)整數(shù),這
個(gè)整數(shù)將區(qū)間
分為
個(gè)小區(qū)間
,
,…,
.由于這
個(gè)整數(shù)是隨機(jī)抽取的,所以前
個(gè)區(qū)間的平均長度
與所有
個(gè)區(qū)間的平均長度
近似相等,進(jìn)而可以得到
的估計(jì)值.已知
,質(zhì)檢員隨機(jī)抽取的配件序號從小到大依次為83,135,274,…,3104.
(1)用上面的方法求的估計(jì)值.
(2)將(1)中的估計(jì)值作為這批汽車配件的總數(shù),從中隨機(jī)抽取100個(gè)配件測量其內(nèi)徑
(單位:
),繪制出頻率分布直方圖如下:
將這100個(gè)配件的內(nèi)徑落入各組的頻率視為這個(gè)配件內(nèi)徑分布的概率,已知標(biāo)準(zhǔn)配件的內(nèi)徑為200
,把這
個(gè)配件中內(nèi)徑長度最接近標(biāo)準(zhǔn)配件內(nèi)徑長度的800個(gè)配件定義為優(yōu)等品,求優(yōu)等品配件內(nèi)徑
的取值范圍(結(jié)果保留整數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)在雙曲線
上,雙曲線
的左、右焦點(diǎn)分別為
、
,下列結(jié)論正確的是( )
A.的離心率為
B.的漸近線方程為
C.動點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為定值
D.當(dāng)動點(diǎn)在雙曲線
的左支上時(shí),
的最大值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)為確定下一年投入某種產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)用,需了解年研發(fā)費(fèi)用(單位:千萬元)對年銷售量
(單位:千萬件)的影響,統(tǒng)計(jì)了近
年投入的年研發(fā)費(fèi)用
與年銷售量
的數(shù)據(jù),得到散點(diǎn)圖如圖所示.
(1)利用散點(diǎn)圖判斷和
(其中
均為大于
的常數(shù))哪一個(gè)更適合作為年銷售量
和年研發(fā)費(fèi)用
的回歸方程類型(只要給出判斷即可,不必說明理由)
(2)對數(shù)據(jù)作出如下處理,令,得到相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表:根據(jù)第(1)問的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),求
關(guān)于
的回歸方程;
| |||
15 | 15 | 28.25 | 56.5 |
(3)已知企業(yè)年利潤(單位:千萬元)與
的關(guān)系為
(其中
),根據(jù)第(2)問的結(jié)果判斷,要使得該企業(yè)下一年的年利潤最大,預(yù)計(jì)下一年應(yīng)投入多少研發(fā)費(fèi)用?
附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
,
為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若,求函數(shù)
在
處的切線方程;
(2)若函數(shù)在定義域上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)在區(qū)間
)上存在極值,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知F是拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn),過E(0,﹣1)的直線l與拋物線分別交于A,B兩點(diǎn).
(1)設(shè)直線AF,BF的斜率分別為k1,k2,證明:k1+k2=0;
(2)若的面積為
,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)
為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,直線
的極坐標(biāo)方程為
,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)).
(Ⅰ)求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線
的普通方程;
(Ⅱ)求曲線上的動點(diǎn)到直線
距離的最大值.
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