Question

【題目】在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是正三角形，E是AB中點(diǎn)，A1E⊥平面ABC．
（I）證明：BC1∥平面 A1EC；
（II）若A1A⊥A1B，且AB=2．
①求點(diǎn)B到平面ACC1A1的距離；
②求直線CB1與平面ACC1A1所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（I）證明：設(shè)AC1與A1C交于F點(diǎn)，連接EF，
∵E，F(xiàn)分別是線段AB，AC1的中點(diǎn)，
∴EF∥BC1 ， 又EF平面 A1EC，BC1平面A1EC
故 BC1∥平面A1EC，
（II）①在正三角形A BC中，過E作E H⊥AC于H，連接A1H
顯然AC⊥平面A1EH，
∵AC平面ACC1A1
∴平面A1EH⊥平面ACC1A1 ， 且兩個平面的交線為A1H
過E作EG⊥A1H于G，則EG⊥平面ACC1A1
在Rt△AA1B中，由已知易得A1E=1，在正三角形ABC中，
則在Rt△A1E H中，
即點(diǎn)E到平面ACC1A1的距離為 ，
∵E是線段AB中點(diǎn)，
∴點(diǎn)B到平面ACC1A1的距離 ，
②延長EB至R點(diǎn)，使EB=BR=1，連接RC，
∴B1R∥A1E，則B1R⊥平面ARC，即有B1R⊥RC
在△BRC中易得 ，
∴
設(shè)直線B1C與平面ACC1A1所成角為φ
則 ．

【解析】（Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可．（Ⅱ）根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式以及線面角的定義，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．